函数的奇偶性

【学习目标】

1.理解函数的奇偶性定义；

2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；

3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.

【要点梳理】

要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤

1．函数奇偶性的概念

偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.

奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.

要点诠释：

（1）奇偶性是整体性质；

（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：f(-x)-f(x)=0，

   f(-x)=-f(x)的等价形式为：f(-x)+f(x)=0；

（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；

（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.

2.奇偶函数的图象与性质

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤

（1）求函数f(x)的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

（2）结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式；

（3）求f(-x)，可根据f(-x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性.

若f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数；

若f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数；

若f(-x)和f(x)既不相等又不相反，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；

若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，则f(x)既是奇函数，又是偶函数

要点二、判断函数奇偶性的常用方法

（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f(x)与f(-x)是否相等.

（2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称.

（3）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

（4）分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(x)与f(-x)的关系.首先要特别注意x与-x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f(x)与f(-x)对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.